廖山涛,数学家,1920年1月生于湖南衡山,1938—1950年在西南联合大学、北京大学和中央研究院数学研究所学习和作研究,1950—1955年在美国芝加哥大学、普林斯顿高等研究所和普林斯顿大学学习和作研究,曾获芝加哥大学博士学位。1956年回国,后任北京大学教授至今。他走第三世界科学院院士,中国科学院院士。 廖山涛早年在代数拓朴学上作研究,涉及周期变换、同伦论和纤维丛等课题。本世纪60年代初,当微分动力系统研究开始在数学领域活跃起来的时候,他亦转入这方面工作。后来,他先后引进典范方程组和阻碍集两个基本概念,围绕它们形成特有的研究体系。他建立的这方法与国外所采用的很不相同,由是对常微系统整体性的一些具体课题,如遍历性的应用、C1封闭引理的证明、(*)-系统的性质和稳定推测等都做过重要贡献。他于1982年和1987年分别获国家自然科学二等奖和一等奖,于1985年获第三世界科学院数学奖。
廖山涛,数学家,1920年生于湖南省衡山县,1938—1942年在昆明西南联合大学学习,后在北京大学数学系及中央研究院数学研究所作助教、助理员及助理研究员等。1950—1955年他先后在美国芝加哥大学普林斯顿高等研究所和普林斯顿大学数学系学习和作研究,曾获芝加哥大学博士学位,1956年回国,后任北京大学教授至今。 廖山涛早年在代数拓朴学上作研究,涉及同伦论、纤维丛及周期变换等课题。1960年后转向微分动力系统这门数学,先后提出典范方程组和阻碍集两个基本概念,围绕它们形成特有的研究体系,并在封闭引理证明、稳定性推测和某类常微系统收缩周道的有限性等等具体问题上取得重要成果。他率先应用遍历性理论到微分动力系统研究上,曾被誉为先驱性工作。1982年他以微分动力系统项目获国家自然科学二等奖,1985年以球上的周期变换与动力系统的定性理论项目获第三世界科学院首届数学奖,1987年以微分动力系统稳定性研究项目获国家自然科学一等奖。1986年他被选为第三世界科学院院士,1992年被选为中国科学院学部委员(院士)。 廖山涛在周期变换工作中,最主要的是在P. A. Smith提出的模素数ρ的特异同调论的基础上,引进特异上调群间的乘法,以探讨变换空间与不动点集两者间的同调性质关系,这可导出一些结论。例如,若n维球上有一周期为素数P的拓朴变换,并有一双模P环绕的不变的紧致可定向子流形,其中之一不含有不动点,则另一个必包含所有的不动点。另外,廖山涛首先提出对称化以消灭同伦群的方法,并用此方法来估计有关球纤维丛截面扩充的第二阶障碍类。这估计在当时是重要且相当艰难的课题,这对称化方法与周期变换有关。 自从Poincare开创代数拓朴这门数学分支以来,寻找新而有意义的代数式的拓朴或伦型不变量和运算,并在空间构架已给定时,能有效估计或计算以期达到应用效果,这一向是被认为是至关重要的事情。廖山涛受此影响,此即特异上调群间乘法运算引进之所由产生。与此有关的对称化以消灭同伦群法,如何应用到同伦论和纤维丛上,这项工作后来没有继续。这除开技术等原因外,主要是他受当时正在世界上初露苗头的微分动力系统研究所吸引这一缘故。 微分动力系统研究兴起于本世纪60年代初。它的研究内容主要是某种变换群下轨道相图整体结构及渐近性质,尤其注意有某种扰动时相图有哪些不变性质及其反面,即突变性质。这些变换群是变换作用为可微的单参群或整数群。前者为常微系统,后者为离散系统。通过扭扩,后者可看作前者的一个(但非常重要的)特别情况。这些不变性质包括重要的结构稳定与Ω稳定。这些突变性质是指分支的出现直到“瞬息万变”现象。廖山涛把这现象恰当地称为常微“湍流”现象。事实上,微分动力系统这门数学分支在自然界各种具体系统中有很强的实际背景。 本世纪五六十年代之交,M. Peixoto发表论文,重新处理了20多年前A. Andronov-L. Pontrjagin有关二维结构稳定常微系统特征性质的结果并加进新的内容——结构稳定的稠密性。这引起科学界的极大重视。高维情况怎样,这是十分自然的问题。自这时起,世界上一些数学家如S. Smale等开始把主要力量投到这上面来,廖山涛也是其中之一。 微分动力系统相图的整体性质有一部分是拓朴式的,但也有一部分是统计式的。廖山涛早在1963年的一篇文章中即谈到这点,并为所考虑的常微系统流形的正规标架丛上导出的统计性质提供基础,给出特性函数ωk(γ),并就遍历不变概率测度取积分,进而讨论这些积分的性质。这些积分值实即后来人们所指的遍历集的Lyapunov特征指数,其在微分动力系统研究中所起的作用至为重要。这些函数和积分值与廖山涛后来提出的典范方程组也有密切的关系。 关于微分动力系统的拓朴性质部分的研究,上面所提的Peixoto的二维成果虽佳,但方法不适用于高维系统,而廖山涛提出的方法与西方学者所采用的有很大差别。西方主要注意离散系统的研究,而廖山涛的方法主要出现在自己建立的典范方程组、阻碍集和极小歧变集中,它们更适用于常微系统的研究。在稳定性和一些有关的问题中,常微系统的结果用通常扭扩的办法直接导出离散系统的相应的结果。然而适用于离散系统的方法不总是容易引伸应用到常微系统上。这除了后来需要在技术上进行更复杂的处理外,还由于两者有本质不同的特征。例如,在紧致光滑流形上可以完全平行的定义*类常微系统族x*和*类离散系统族J*如下:X∈*当且仅当X的某个领域内的所有Y都至多有可数个周期轨道和有限个奇点。但是,已经知道,在f *中每个离散系统的周期点集在非游荡集中稠密,而相应的结果对于x*中有奇点的常微系统不一定再成立。如果这常微系统没有奇点,则相应的结果是否成立目前尚是一悬而未决的难题。这也是研究常微系统时阻碍集有用的缘故。 所谓典范方程组是以一定方式的构造办法与流形上常微系统相联系的某类常微分方程组,其线性部分在廖山涛1963年的文章中已涉及到。这是一种把流形上常微系统绕轨线局部化成欧氏空间中通常的常微分方程组来讨论的办法,一方面便于演算,另一方面又比较便于处理常微系统由于奇点的存在对整体相图分析所带来的多方面的复杂问题。例如,廖山涛证明x*中系统的收缩周期轨道个数有限性的一个定理,若不用典范方程,就难以成功。又例如,廖山涛首次“真正”给出C1封闭引理的证明。这引理曾是上面提到过的Peixoto2维定理证明中的一个关键,而在高维情况下曾经是微分动力系统理论中个严峻的挑战。以前,国外曾经发表过一个证明,但含有难以弥补的漏洞。但这个引理重要。为此,廖山涛于1979年发表了他的证明。这证明清晰,概念化,借助于典范方程组,加上别的技巧。这证明于60年代中期业已基本完成。又例如,廖山涛近来研究的向量丛动力系统的扰动问题,倘若没有典范方程组的一些技巧,研究也难以进行下去。 在典范方程组的基础上,廖山涛发现了阻碍集。借助于这个新概念,可以把微分动力系统的某些重要性质表示为集合之间的运算式子。它的意义类似于把定性的问题定量或半定量化。他又从阻碍集出发探索了所谓正常集。正常集有较整齐的结构。特别地,流形本身为常微系统的正常集当且仅当这系统满足Smale公理A及强匀断性这两个条件。但阻碍集的内函比Smale条件要多。廖山涛在阻碍集不是空集的情况下引进了极小歧变集。分析极小歧变集的性质对于了解系统的动力学行为是至关重要的事情。为此,他在一重要情况下证明极小坡变集可以用具有指数相异的周期轨道来任意地靠近。 关于结构稳定的特征性质,多年前有过Peixoto的2维系统的工作。对于高维,Smale等人扩充这工作曾作过推测;考虑中的系统结构稳定的充要条件是它满足公理A及强匀断性。这条件的充分性早已被验证。这条件的必要性就是有名的结构稳定推测,这一直是一个重要而较难证明的问题。1980年廖山涛首先突破此关,用阻碍集的办法证明:这必要条件对于无奇点的3维常微系统成立。同样可看出:这结论对于奇点在Ω-集中都孤立的3维常微系统也是成立的。对于Ω一稳定和离散系统有相应的推测和结论。目前,尽管对于离散系统的稳定推测已有清楚的答案,但对于常微系统的稳定推测由于其复杂性,一般的答案仍未得出。在一些办法试行无效之后,仍将要走阻碍集这条道路。阻碍集自然可应用到解决动力系统中一些别的问题上。例如,可应用它证明:3维无奇点常微系统Ω-稳定,当且仅当它属于x*。这与当前热门讨论的“混沌”问题有关。对于更高维,是否有类似结果,现在尚不知道。 据上面所述可看出,围绕典范方程组和阻碍集这两个概念来开展,是廖山涛的微分动力系统工作的核心想法,这也是他的基本方法。在体系上,这方法与国际上采用过的很不相同,也不是无条件地可直接接轨。廖山涛在建立这方法上费过很大气力,思路可从《数学学报》1974年题为《典范方程组》及《数学学报》1980年题为《阻碍集I》与《北京大学学报》(自然科学版)1981年题为《阻碍集Ⅱ》的几篇文章中看到。概貌可从科学出版社1986年出版的DD4(1983)文集的一篇综述文中看到。
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